Différentiabilité

Fonction différentiable $f$ en $a$
Fonction $f:U\to F$, avec $U$ un Ouvert de $E$ et $E,F$ des ${\Bbb R}$-Espace vectoriels normés telle qu'il existe une Application linéaire
continue $df(a)\in L_c(E,F)$ telle que : $$f(a+h)-f(a)=df(a)(h)+o(\lVert h\rVert_E)$$ avec $h$ suffisamment petit pour que $a+h\in U$, correspondant au comportement lorsque $h\to0$.

ainsi, la différentielle $df(a):E\to F$ représente une approximation (à un Petitot près) de variations infinitésimales de $f$ autour de $a$
cette différentielle est unique si elle existe
si $f$ est différentiable en $a$, alors elle est continue en $a$
règle de la chaîne : $d(g\circ f)(a)=$ $dg(f(a))\circ df(a)$

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Réécrire le Théorème fondamental d'analyse avec la différentielle.
Verso: $$J(z)= J(x)+\int_0^1 dJ(x+t(z-x))(z-x)\,dt$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END

Définition

START
Théorème
Définition d'une fonction différentiable - définition d'une différentielle
Hypothèses:

soient $E,F$ deux ${\Bbb R}$-espaces vectoriels normés
soit $U$ un ouvert de $E$
soit $f:U\to F$
soit $a\in U$
il existe une application linéaire continue $df(a)\in L_C(E,F)$ telle que $$f(a+h)-f(a)-df(a)(h)=o(\lVert h\rVert_E)$$

($df(a)(h)\underset{h\to0}\sim f(a)-f(a+h)$)
Résultats:

on dit que $f$ est différentiable en $a$
on appelle $df(a)$ sa différentielle en $a$

Equivalence?:
Résumé: La différentielle est la partie linéaire en $h$ de $f(a+h)-f(a)$, qui n'est pas un petitot de $h$.
END
Définition :
$f$ est différentiable sur $U$ ouvert si et seulement si elle est différentiable en tout point de $U$

Fonction ayant une composante

Soit $f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R},x_0\in{\Bbb R}^n$
$f$ est différentiable en $0$ s'il existe une application linéaire $l:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}$ telle que : $$\lim_{\lVert h\rVert\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-l(h)}{h}=0$$
I.e. Si $f$ admet un DL à l'ordre $1$ en $x_0$
On note $df(x_0)$ cette fonction $l$
(Développement limité, Fonction linéaire)
On appelle différentielle de $f$ au point $M_0\in\Omega\subset\Bbb R^m$, et on note $df_{M_0}$, l'application qui au vecteur $\overrightarrow{\Delta M}$ ($\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j\in\Bbb R^2$ ou $\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j+l\vec k\in\Bbb R^3$), associe la partie linéaire du développement limité de $f$ à l'ordre $1$ en $M_0$ : $$df_{M_0}:\begin{align}\Bbb R^m&\to\Bbb R\\ df_{M_0}(\overrightarrow{\Delta M})&={{\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\cdot\overrightarrow{\Delta M} }}\end{align}$$
La fonction $f$ se dit alors différentiable en $M_0$
(Développement limité)

Fonction ayant plusieurs composantes

Définition :
Soit $$\begin{align} F&:{\Bbb R}^n\longrightarrow{\Bbb R}^p\\ F&=(f_1,\ldots,f_p)\end{align}$$
La différentielle de $F$ est $${{dF(x)}}={{(df_1(x),\ldots,df_p(x))}}$$

Propriétés

Unicité

Proposition :
Si la différentielle de $f$ existe, alors elle est unique

Cas constant

Différentielle d'une fonction constante :

$f$ est constante

$$\Huge\iff$$

$df(a)=0$

Cas réel

START
Théorème
Différentielle dans les réels
Soit $f$ une fonction définie sur ${\Bbb R}$
Hypothèses:

soit $a\in{\Bbb R}$
$$df(a)(h)=hf^\prime(a)$$

Résultats:

$f$ est dérivable en $a$

Equivalence?: y
Résumé: Une fonction réelle est dérivable si et seulement si sa différentielle est $hf^\prime(a)$.
END

Différentiabilité d'un produit

Différentiabilité d'un produit :

soient $f_i:E\to F_i$ pour $i\in[\![1,n]\!]$
soit $F:=F_1\times\dots\times F_n$
$f_1,\dots,f_n$ sont différentiables en $a\in E$

$$\Huge\iff$$

$f:=f_1\times\dots\times f_n$ est différentiable en $a$

Cas d'une fonction linéaire

Différentielle d'une fonction linéaire :

$f$ est une fonction linéaire continue

$$\Huge\iff$$

$f$ est différentiable et $$df(u)(h)=f(h)$$

Cas d'une fonction multilinéaire

Différentielle d'une fonction multilinéaire :

$f:E_1\times\dots\times E_n\to F$ est multilinéaire et continue

$$\Huge\iff$$

$f$ est différentiable et $$df(a)(h)=\sum^n_{i=1}f(a_1,\dots,a_{i-1},h,a_{i+1},\dots,a_n)$$

(Application multilinéaire)

En fonction de normes

Différentiabilité en fonction de normes :

soit $f:C([0,1])\to F$
$f(0)=0$

$$\Huge\iff$$

$f$ est différentiable pour $\lVert\,\rVert_\infty$ mais pas pour $\lVert\,\rVert_1$

Lien avec la continuité

Lien entre différentiabilité et continuité :

$f$ est différentiable en $a$

$$\Huge\iff$$

$f$ est continue en $a$

$\longrightarrow$ démonstration via passage à la limite et définition de la différentielle

Linéarité

Linéarité des différentielles :

$f$ et $g$ sont différentiables en $a$
soit $\lambda\in{\Bbb R}$

$$\Huge\iff$$

$$\begin{align} &d(f+g)(a)=df(a)+dg(a)\\ &\quad\text{ et }\quad\\ & d(\lambda f)(a)=\lambda df(a)\end{align}$$

Règle de la chaîne

Règle de la chaîne (différentielles) :

$f$ est différentiable en $a$
$g$ est différentiable en $f(a)$

$$\Huge\iff$$

$g\circ f$ est différentiable et $a$ et $$d(g\circ f)(a)(h)=dg(f(a))(df(a)(h))$$

(Règle de la chaîne)
Règle de la chaîne pour les différentielles : $$d(g\circ f)(a)(h)={{dg(f(a))(df(a)(h))}}$$ Soit $f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}$ et $\gamma:{\Bbb R}\to{\Bbb R}^n$ deux fois différentiables
Alors $${{(f\circ\gamma)^\prime}}={{\langle\nabla f\circ\gamma,\gamma^\prime\rangle}}$$
Soit $f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}$ et $\gamma:{\Bbb R}\to{\Bbb R}^n$ deux fois différentiables
$$\begin{align} {{(f\circ \gamma)''}}&={{\langle(\nabla f\circ\gamma)^\prime,\gamma^\prime\rangle+\langle\nabla f\circ \gamma,\gamma{''}\rangle}}\\ &={{\langle(\operatorname{Hess}f)(\gamma(\cdot))\cdot\gamma^\prime,\gamma^\prime\rangle}}\end{align}$$

Différentielle d'un inverse

Différentielle d'un inverse :

$f$ est $\mathcal C^1$ un difféomorphisme

$$\Huge\iff$$

$df(x)$ est inversible $\forall x$
$$df^{-1}(y)=df(f^{-1}(y))^{-1}$$

Ordre supérieur

Différentielle seconde

Formules utiles

Lien avec les dérivées partielles

Si $f$ est différentiable, alors ses dérivées partielles existent et : $${{df(x_0)(h)}}={{\sum^n_{i=1}h_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}$$ Lien différentielle/dérivées partielles : $${{ df(x)(h)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i }}$$
Si $f$ est différentiable, alors on a : $${{\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}={{df(x_0)(0,\ldots,\underbrace{1}_{i\text{eme élément} },\ldots,0)}}$$
(Dérivée partielle)

Lien avec les dérivées directionnelles

Si $f$ est différentiable, alors on a : $${{D_vf(x_0)}}={{df(x_0)(v)}}$$
(Dérivée directionnelle)

Différentielle d'une fonction linéaire

Si $f$ est linéaire, alors $$df(x_0)=f$$
(Fonction linéaire)

Liens avec les dérivées directionnelles

Théorème :
Soit $f:\Omega\subset\Bbb R^m\to\Bbb R$
Si $f$ est différentiable en $M_0\in\Omega$, alors toutes les dérivées directionnelles et dérivées partielles de $f$ existent en $M_0$
(Dérivée directionnelle, Dérivée partielle)